福井市から京都市まではそれほど離れていないので、格安のバスで行くのが一般的ですが新幹線で行く方法もあります。
往復割引を利用すればこだまに乗っても、それほど金銭的負担が重たくないので、高齢者にもお勧めです。

福井市は今のところ北陸新幹線が開通していないので、京都まで行くのに特急に乗らなければなりません。
サンダーバードを利用すれば目的地まで乗り換えなしで行くことができます。また往復割引を利用すれば格安になります。高速バスもありますが渋滞に巻き込まれるリスクを踏まえると、鉄道で行く方が望ましいです。

福井から京都までは格安バスで十分なのですが、どうしても新幹線に乗りたいという人は、米原駅まで行く必要があります。
米原駅まで行くのには敦賀駅で乗り換える必要があります。敦賀駅では新快速に接続していて、近江塩津駅でもう一度乗り換えたら米原駅まで出られます。新幹線は料金が高いので往復割引を使いましょう。

福井県在住の方で新幹線に乗るのが好きな人は、米原駅まで向かいましょう。
京都まで行く場合には、それほど料金が高くないのですが、さらに費用を抑えたい人はぷらっとこだまを利用しましょう。往復で米原駅から乗車すれば格安で行くこともできます。但し時間帯や座席が指定されるので、ルーズな人は控えておきましょう。